Guía de Trabajo Práctico 3

Guía de Trabajo Práctico 3#

Materia: Aprendizaje Profundo Basado en la Física (optativa del Instituto Balseiro)

Docente: José I. Robledo

Edición: abril-mayo 2026

Problema 1: PINN en PyTorch para Poisson 1D#

Resolver $$ u''(x) = -\pi^2 \sin(\pi x), \quad x\in[0,1],\quad u(0)=u(1)=0 $$ cuya solución analítica es u(x)=sin(pi x).

Crear una red pequeña x -> u(x).
Muestrear puntos interiores y de borde.
Usar autograd para obtener u_x y u_xx.
Construir una loss con residual de PDE y condiciones de borde.
Entrenar y comparar contra la solución analítica.

Problema 2: Poisson 2D con DeepXDE#

Resolver con deepxde un problema de Poisson 2D sobre el cuadrado unitario .

\[ \Delta u(x,y) = 2\pi^2 \sin(\pi x)\sin(\pi y), \quad (x,y)\in[0,1]^2 \]

con condición de borde homogénea y solución analítica $$ u(x,y) = -\sin(\pi x)\sin(\pi y). $$

Definir la geometría del cuadrado unitario.
Declarar la PDE y la condición de borde de Dirichlet homogénea.
Armar el objeto dde.data.PDE.
Entrenar una red FNN que estime la solución en el dominio.
Evaluar la solución sobre una grilla y compararla con la expresión analítica.

Problema 2.b: Helmholtz 2D con métrica de prueba y ajuste de hiperparámetros (OPCIONAL)#

Retomar el problema anterior de Poisson 2D, cuya solución analítica era

\[ u(x,y) = -\sin(\pi x)\sin(\pi y). \]

Observar que, para esta solución particular, se cumple que

\[ \Delta u(x,y) = -2\pi^2 u(x,y), \]

de modo que el mismo campo puede reinterpretarse como solución de una ecuación de Helmholtz homogénea:

\[ -\Delta u(x,y) - k_0^2 u(x,y) = 0, \qquad (x,y)\in[0,1]^2, \]

con condición de borde de Dirichlet homogénea

\[ u(x,y)=0, \qquad (x,y)\in\partial\Omega, \]

y con

\[ k_0^2 = 2\pi^2. \]

Resolver este problema con DeepXDE, usando como solución de referencia

\[ u(x,y) = -\sin(\pi x)\sin(\pi y). \]

Definir la geometría rectangular y escribir el residual de la ecuación de Helmholtz usando derivadas automáticas de segundo orden.
Declarar la condición de borde de Dirichlet homogénea, o bien imponerla mediante una transformación de salida si se desea trabajar con restricciones duras.
Construir el objeto dde.data.PDE incluyendo la solución exacta para poder evaluar una métrica de prueba razonable durante el entrenamiento.
Entrenar una red FNN utilizando, por ejemplo, la métrica "l2 relative error" para monitorear la calidad de la solución sobre el conjunto de test.
Comparar la solución predicha con la solución analítica sobre una grilla bidimensional y reportar el error final.
Realizar una optimización de hiperparámetros inspirada en el demo oficial de DeepXDE para Helmholtz 2D, explorando al menos tasa de aprendizaje, cantidad de capas, número de neuronas por capa y función de activación.
Definir una función objetivo razonable para la optimización, por ejemplo el mínimo error de test o la mejor métrica l2 relative error obtenida durante el entrenamiento.
Presentar la mejor configuración encontrada y compararla con una configuración base.

Problema 3: Estimar la difusividad térmica: problema inverso#

Se considera la ecuación de difusión unidimensional: $$ u_t = \alpha u_{xx} $$

donde $u(x,t)$ representa la temperatura y $\alpha > 0$ es la difusividad térmica desconocida. Supongamos que queremos estimar la solución con una PINN, en el dominio $x \in [0,1]$ y $t \in[0,1]$, con condiciones iniciales $ u(x,0) = \sin(\pi x)$, $u(0,t) = 0$ y $u(1,t) = 0$.

Cargar los datos observados de data/difusion_1D.csv. Contiene valores de $(x, t, u(x,t)$ para varios pares $(x,t)$ en el dominio mencionado.

Utilizando dde.icbc.DirichletBC para las condiciones de contorno, dde.icbc.IC para las condiciones iniciales, y dde.icbc.PointSetBC para los puntos de colocacion provistos, entrenar una PINN dependiente del tiempo con dde.data.TimePDE que estime el valor del parámetro $\alpha$. TIP: estas clases están pensadas para trabajar con numpy arrays.
Entrenar el modelo durante 5000 épocas con el optimizador Adam, y luego utilizar L-BFGS para el refinamiento de la solución.

Problema 4: Viga estática simplemente apoyada#

Considere una viga unidimensional simplemente apoyada, modelada en forma adimensional por la ecuación de Euler-Bernoulli

\[ \hat{w}_{\xi\xi\xi\xi}(\xi) = 1, \qquad \xi \in (0,1) \]

donde $\hat{w}(\xi)$ representa la deflexión adimensional de la viga.

Las condiciones de borde para una viga simplemente apoyada son:

\[ \hat{w}(0)=0, \qquad \hat{w}(1)=0, \]

\[ \hat{w}''(0)=0, \qquad \hat{w}''(1)=0. \]

La solución analítica del problema es

\[ \hat{w}(\xi) = \frac{\xi\,(1 - 2\xi^2 + \xi^3)}{24}. \]

Resolver este problema con DeepXDE usando el backend de PyTorch.

Definir la geometría unidimensional sobre el intervalo $[0,1]$.
Implementar la PDE usando derivadas automáticas hasta cuarto orden.
Imponer las condiciones de borde esenciales $\hat{w}(0)=\hat{w}(1)=0$ con dde.icbc.DirichletBC.
Imponer las condiciones de borde naturales $\hat{w}''(0)=\hat{w}''(1)=0$ con dde.icbc.OperatorBC.
Construir el objeto dde.data.PDE, entrenar una red FNN primero con Adam y luego refinar con L-BFGS.
Evaluar la solución aprendida en una grilla uniforme, compararla con la solución analítica y reportar el error relativo $L^2$.
Graficar la solución exacta, la aproximación de la PINN y el error absoluto.

Problema 5: Viga dinámica apoyada#

Considere ahora la versión dinámica de la viga apoyada, modelada en variables adimensionales por la ecuación

\[ \hat{w}_{\tau\tau}(\xi,\tau) + \hat{w}_{\xi\xi\xi\xi}(\xi,\tau) = 0, \]

para $(\xi,\tau) \in (0,1) \times (0,1)$, donde $\hat{w}(\xi,\tau)$ representa la deflexión transversal adimensional.

Las condiciones de borde espaciales de una viga simplemente apoyada son

\[ \hat{w}(0,\tau)=0, \qquad \hat{w}(1,\tau)=0, \]

\[ \hat{w}_{\xi\xi}(0,\tau)=0, \qquad \hat{w}_{\xi\xi}(1,\tau)=0. \]

Además, se imponen las condiciones iniciales

\[ \hat{w}(\xi,0)=a\sin(\pi \xi), \qquad \hat{w}_{\tau}(\xi,0)=0, \]

donde $a>0$ es una amplitud dada.

La solución exacta correspondiente al primer modo es

\[ \hat{w}(\xi,\tau)=a\sin(\pi\xi)\cos(\pi^2\tau). \]